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已知一个成本矩阵cost[][]，位置(m, n)的权重是cost[][]，写一个函数，这个函数返回从(0, 0)到(m, n)的最小带权路径。矩阵的每个格子表示的是通过这个格子的代价。到达(m, n)的路径总代价是这条路上所有代价和（包括出发点和终点）。你只可以从当前的格子向下，向右，或者对角线移动到下面的格子。例如给定(i, j)，只可以移动到cells (i+1, j)，(i, j+1) 和(i+1, j+1)。你可以假设所有的成本都是正整数。

例如，在下面的图中，到(2, 2)的最小带权路径是啥？

最小带权路径在下面的图中已经标记出来了，路径是(0, 0) –> (0, 1) –> (1, 2) –> (2, 2)。路径的成本是8 (1 + 2 + 2 + 3)。

1）最优的子结构

到达 (m, n) 的路径必须通过下面三个格子中的一个：(m-1, n-1)或者(m-1, n)或者(m, n-1)。所以到达(m, n)的最小成本快一些写成“到达三个格子的最小值加上cost[m][n]”。

minCost(m, n) = min (minCost(m-1, n-1), minCost(m-1, n), minCost(m, n-1)) + cost[m][n]

2）重复的子问题

下面是MCP（Minimum Cost Path）问题的一个比较简单的递归实现了。这个实现就是根据上面的递归结构来写的。

/* A Naive recursive implementation of MCP(Minimum Cost Path) problem */#include
   
    #include
    
     #define R 3#define C 3int min(int x, int y, int z);/* Returns cost of minimum cost path from (0,0) to (m, n) in mat[R][C]*/int minCost(int cost[R][C], int m, int n){   if (n < 0 || m < 0)      return INT_MAX;   else if (m == 0 && n == 0)      return cost[m][n];   else      return cost[m][n] + min( minCost(cost, m-1, n-1),                               minCost(cost, m-1, n),                                minCost(cost, m, n-1) );}/* A utility function that returns minimum of 3 integers */int min(int x, int y, int z){   if (x < y)      return (x < z)? x : z;   else      return (y < z)? y : z;}/* Driver program to test above functions */int main(){   int cost[R][C] = { {
  1, 2, 3},                      {
  4, 8, 2},                      {
  1, 5, 3} };   printf(" %d ", minCost(cost, 2, 2));   return 0;}
    
   

应该注意的是，上面的方法重复计算了一些子问题，看下面这个递归树，有许多节点出现了多次，这个递归的时间复杂度是指数级的，运行起来超慢。

mC refers to minCost()                                    mC(2, 2)                          /            |           \                         /             |            \                              mC(1, 1)           mC(1, 2)             mC(2, 1)              /     |     \       /     |     \           /     |     \              /      |      \     /      |      \         /      |       \       mC(0,0) mC(0,1) mC(1,0) mC(0,1) mC(0,2) mC(1,1) mC(1,0) mC(1,1) mC(2,0)

所以MCP问题有动态规划的两个属性（重复子问题与最优子结构），就像其他典型的DP问题一样，可以通过自底向上地构建一个临时数组tc[][]来避免重复计算相同的子问题。

/* Dynamic Programming implementation of MCP problem */#include
   
    #include
    
     #define R 3#define C 3int min(int x, int y, int z);int minCost(int cost[R][C], int m, int n){     int i, j;     // Instead of following line, we can use int tc[m+1][n+1] or      // dynamically allocate memoery to save space. The following line is     // used to keep te program simple and make it working on all compilers.     int tc[R][C];       tc[0][0] = cost[0][0];     /* Initialize first column of total cost(tc) array */     for (i = 1; i <= m; i++)        tc[i][0] = tc[i-1][0] + cost[i][0];     /* Initialize first row of tc array */     for (j = 1; j <= n; j++)        tc[0][j] = tc[0][j-1] + cost[0][j];     /* Construct rest of the tc array */     for (i = 1; i <= m; i++)        for (j = 1; j <= n; j++)            tc[i][j] = min(tc[i-1][j-1], tc[i-1][j], tc[i][j-1]) + cost[i][j];     return tc[m][n];}/* A utility function that returns minimum of 3 integers */int min(int x, int y, int z){   if (x < y)      return (x < z)? x : z;   else      return (y < z)? y : z;}/* Driver program to test above functions */int main(){   int cost[R][C] = { {
  1, 2, 3},                      {
  4, 8, 2},                      {
  1, 5, 3} };   printf(" %d ", minCost(cost, 2, 2));   return 0;}
    
   

输出：

8

这个实现的时间复杂度是 O(mn)，这比前面那个简单的递归实现好多了。